\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algor\´{\i}tmo}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axioma}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Afirma\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Defini\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{example}{Exemplo}
\newtheorem{examples}{Exemplos}
\newtheorem{exercise}{Exerc\'{\i}cios}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problema}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposi\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{remark}{Observa\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}
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\begin{document}
\vspace*{-3cm}\hspace*{-1.65cm}\FRAME{itbpF}{17.0656cm}{3.5739cm}{0cm}{}{}{%
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"0";filename 'Prova3M.jpg';file-properties "XNPEU";}}
\part*{Conjuntos Num\'{e}ricos}
Os conjuntos num\'{e}ricos comp\~{o}e uma parte fundamental da Matem\'{a}%
tica, notadamente no contexto de aplica\c{c}\~{a}o a outros campos de
estudo. Atualmente tais conjuntos englobam os n\'{u}meros naturais,
inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por $%
\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$. Os tr%
\^{e}s primeiros podem ser apresentados de maneira direta e simples, como na
seq\"{u}\^{e}ncia:%
\begin{eqnarray*}
\mathbb{N} &=&\left\{ 0,1,2,3,\cdots \right\} \\
\mathbb{Z} &=&\left\{ \cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \right\} =\left\{
0,\pm 1,\pm 2,\pm 3.\cdots \right\} \\
\mathbb{Q} &=&\left\{ \frac{p}{q}:p\text{ e }q\in \mathbb{Z}\text{, }q\neq
0\right\}
\end{eqnarray*}%
Note que os dois primeiros conjuntos s\~{a}o apresentados com forte ap\^{e}%
lo ao bom senso e a uma esp\'{e}cie de no\c{c}\~{a}o intuitiva de recurs\~{a}%
o, propriedade intr\'{\i}nseca ao conjunto dos n\'{u}meros naturais,
"escondida" \`{a}s vezes sob o apelido de exist\^{e}ncia de sucessor. Quanto
ao conjunto dos n\'{u}meros racionais, a apresenta\c{c}\~{a}o usa o conjunto
dos inteiros ($\mathbb{Z}$) e introduz uma simbologia que \'{e} a da fra\c{c}%
\~{a}o, que por sua vez precisa de uma informa\c{c}\~{a}o adicional: a
equival\^{e}ncia. Duas fra\c{c}\~{o}es s\~{a}o ditas equivalentes ou iguais
de acordo com o seguinte:%
\begin{equation*}
\frac{m}{n}\ =\frac{p}{q}\iff mq=np
\end{equation*}%
neste caso dizemos que representam o mesmo n\'{u}mero racional. Tamb\'{e}m
se torna necess\'{a}rio, no sentido de fazer com que os n\'{u}meros
racionais englobem os inteiros, que se fa\c{c}a a conven\c{c}\~{a}o de que
as fra\c{c}\~{o}es de denominador $1$ representem o n\'{u}mero inteiro
correspondente ao seu numerador.
A constru\c{c}\~{a}o do conjunto dos n\'{u}meros reais \'{e} extremamente t%
\'{e}cnica e foge do escopo de qualquer texto introdut\'{o}rio de Matem\'{a}%
tica. Apresentaremos $\mathbb{R}$ como sendo o conjunto dos n\'{u}meros
identificados com os pontos da reta num\'{e}rica. Esta forma se deve ao fato
de que os n\'{u}meros racionais s\~{a}o identificados de forma simples com
pontos da reta num\'{e}rica, usando os conhecimentos de Geometria Plana,
como ilustrado a seguir.
\FRAME{dtbpF}{4.7297in}{0.4912in}{0pt}{}{}{retareal.jpg}{\special{language
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"1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'RetaReal.jpg';file-properties
"XNPEU";}}
O conjunto dos n\'{u}meros complexos, $C$ ser\'{a} estudado mais adiante.
\section{Opera\c{c}\~{o}es com n\'{u}meros}
As opera\c{c}\~{o}es com n\'{u}meros s\~{a}o as usuais, denominadas de Adi%
\c{c}\~{a}o e Multiplica\c{c}\~{a}o, ficando subentendidas as opera\c{c}\~{o}%
es definidas a partir destas (subtra\c{c}\~{a}o e divis\~{a}o). S\~{a}o
supostas conhecidas as regras ou algor\'{\i}tmos. S\~{a}o supostas
conhecidas as opera\c{c}\~{o}es com n\'{u}meros inteiros, porisso apenas
apresentamos as defini\c{c}\~{o}es de adi\c{c}\~{a}o e multiplica\c{c}\~{a}o
de fra\c{c}\~{o}es e enunciamos logo em seguida as propriedades b\'{a}sicas.
\begin{definition}
Dados os n\'{u}meros racionais $r=\frac{m}{n}$ e $s=\frac{p}{q}$ definimos%
\begin{equation*}
r+s=\frac{mq+np}{nq}
\end{equation*}%
e%
\begin{equation*}
r\times s=\frac{mp}{nq}
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{remark}
Para os n\'{u}meros reais $a$, $b$ e $c$ s\~{a}o v\'{a}lidas as propriedades
a seguir:
\end{remark}
\begin{description}
\item[(i)] $a+\left( b+c\right) =\left( a+b\right) +c$ (\textsl{%
Associatividade da Adi\c{c}\~{a}o})
\item[(ii)] $a+b=b+a$ (\textsl{Comutatividade da Adi\c{c}\~{a}o})
\item[(iii)] $a+0=a$ (\textsl{Exist\^{e}ncia de Elemento Neutro da Adi\c{c}%
\~{a}o})
\item[(iv)] $\exists -a\in \mathbb{R}$ satisfazendo \`{a} rela\c{c}\~{a}o $%
a+\left( -a\right) =0$ (\textsl{Exist\^{e}ncia de Opostos})
\item[(v)] $a\cdot \left( b\cdot c\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot c$ (%
\textsl{Associatividade da Multiplica\c{c}\~{a}o})
\item[(vi)] $a\cdot b=b\cdot a$ (\textsl{Comutatividade da Multiplica\c{c}%
\~{a}o})
\item[(vii)] $a\cdot 1=a$ (\textsl{Exist\^{e}ncia de Elemento Neutro da
Multiplica\c{c}\~{a}o})
\item[(viii)] $\exists a^{-1}\in \mathbb{R}$ satisfazendo \`{a} rela\c{c}%
\~{a}o $a\cdot \left( a^{-1}\right) =1$ (\textsl{Exist\^{e}ncia de Inversos})
\item[(ix)] $a\cdot \left( b+c\right) =a\cdot b+a\cdot c$ (\textsl{%
Distributividade})
\end{description}
Estas propriedades t\^{e}m por objetivo completar a apresenta\c{c}\~{a}o do
conjunto dos n\'{u}meros reais e s\~{a}o \'{u}teis no estudo das express\~{o}%
es alg\'{e}bricas.
\section{Potencia\c{c}\~{a}o e Radicia\c{c}\~{a}o}
A potencia\c{c}\~{a}o \'{e} uma opera\c{c}\~{a}o que pode ser considerada
como nota\c{c}\~{a}o simplificada de certas opera\c{c}\~{o}es. No caso de
expoentes inteiros positivos isto \'{e} feito de maneira recursiva. Uma opera%
\c{c}\~{a}o (ou um racioc\'{\i}nio) est\'{a} na forma recursiva, quando \'{e}
definida inicialmente para um n\'{u}mero inteiro e, a partir da\'{\i} se
define usando o conceito de sucessor, como no exemplo que segue.
\begin{definition}
Seja $a$ um n\'{u}mero real n\~{a}o nulo e $n$ um inteiro n\~{a}o negativo
(ou natural). Neste caso define-se $a^{n}$ da seguinte forma:%
\begin{eqnarray*}
a^{0} &=&1 \\
a^{n+1} &=&a^{n}\cdot a.
\end{eqnarray*}
\end{definition}
\begin{example}
$3^{1}=3^{0}\cdot 3=3$
\end{example}
\begin{example}
$3^{5}=3^{4}\cdot 3=\left( 3^{3}\cdot 3\right) \cdot 3=\left[ \left(
3^{2}\cdot 3\right) \cdot 3\right] \cdot 3=\left\{ \left[ \left( 3^{1}\cdot
3\right) \cdot 3\right] \cdot 3\right\} \cdot 3$.
\end{example}
Na defini\c{c}\~{a}o apresentada, o n\'{u}mero $a$ \'{e} denominado base e $%
n $ \'{e} o expoente, enquanto o resultado \'{e} denominado pot\^{e}ncia.
Observe tamb\'{e}m que, no caso de expoente positivo, a pot\^{e}ncia
corresponde ao produto cujos fatores s\~{a}o iguais \`{a} base e o n\'{u}%
mero d\^{e}les \'{e} o expoente. A exig\^{e}ncia de que a base seja n\~{a}o
nula tem uma raz\~{a}o especial que ser\'{a} estudada nos exerc\'{\i}cios.
Para manter coer\^{e}ncia com as propriedades conhecidas das pot\^{e}ncias,
define-se pot\^{e}ncia com expoentes inteiros negativos da seguinte maneira.
\begin{definition}
Seja $a$ um n\'{u}mero real n\~{a}o nulo e $n$ um inteiro positivo (ou
natural). Neste caso define-se
\begin{equation*}
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\end{equation*}
\begin{example}
$7^{-1}=\frac{1}{7}$
\end{example}
\begin{example}
$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$
\end{example}
\begin{example}
$\left( \frac{1}{2}\right) ^{-5}=32$ (verifique).
\end{example}
\end{definition}
A defini\c{c}\~{a}o de radicia\c{c}\~{a}o, apesar de simples, \'{e}
indireta, mas \'{e} necess\'{a}ria quando se pretende definir expoente
racional.
\begin{definition}
Sejam $a$ e $b$ n\'{u}meros reais n\~{a}o nulos, de mesmo sinal e $n$ um
inteiro positivo. Se $b^{n}=a$, ent\~{a}o define-se%
\begin{equation*}
\sqrt[n]{a}=b\text{.}
\end{equation*}
\end{definition}
A partir da radicia\c{c}\~{a}o se define expoente fracion\'{a}rio.
\begin{example}
$\sqrt[5]{-32}=-2$; $\sqrt[4]{81}=3$
\end{example}
\begin{definition}
Se $a$ \'{e} um n\'{u}mero real n\~{a}o negativo e $r=\frac{m}{n}$, ent\~{a}%
o define-se%
\begin{equation*}
a^{r}=\sqrt[n]{a^{m}}
\end{equation*}
\begin{remark}
n\~{a}o h\'{a} coer\^{e}ncia na defini\c{c}\~{a}o dada, se admitirmos $a$
negativo, por exemplo, se $a=-1$ e $n=3$, sabendo que
\begin{equation*}
\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\text{,}
\end{equation*}%
ter\'{\i}amos:%
\begin{equation*}
a^{\frac{1}{3}}=\left( -1\right) ^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-1}=-1
\end{equation*}%
e tamb\'{e}m%
\begin{equation*}
a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{6}}=\left( -1\right) ^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{%
\left( -1\right) ^{2}}=\sqrt[6]{1}=1
\end{equation*}%
que \'{e} uma contradi\c{c}\~{a}o inadmiss\'{\i}vel.
\end{remark}
\end{definition}
\begin{remark}
Para os n\'{u}meros reais n\~{a}o negativos $a$, e $b$ e para os n\'{u}meros
racionais $r$ e $s$, s\~{a}o v\'{a}lidas as propriedades a seguir:
\end{remark}
%TCIMACRO{\TeXButton{3 colunas}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[(i)] $a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}$
\item[(ii)] $\frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}$
\item[(iii)] $\left( a^{r}\right) ^{s}=a^{rs}$
\item[(iv)] $\left( a\cdot b\right) ^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$
\item[(v)] $\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}$
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
\begin{remark}
Para expoentes inteiros positivos as propriedades (i), (iii) e (iv) s\~{a}o v%
\'{a}lidas, mesmo que as bases envolvidas sejam negativas ou nulas.
\end{remark}
\begin{examples}
Confira os exemplos a seguir
\end{examples}
%TCIMACRO{\TeXButton{2 colunas}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $2^{2}\cdot 2^{6}=2^{2+6}=2^{8}$.
\item[\textbf{(b)}] $\frac{5^{2}}{5^{5}}=5^{2-5}=5^{3}$
\item[\textbf{(c)}] $\left( 3^{\frac{3}{4}}\right) ^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{3%
}{4}\times \frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
\item[\textbf{(d)}] $\left( 2\cdot 3\right) ^{4}=2^{4}\times 3^{4}=1296$
\item[\textbf{(e)}] $\left( \frac{2}{3}\right) ^{4}=\frac{2^{4}}{3^{4}}=%
\frac{16}{81}$
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
\begin{exercise}
Calcule:
\end{exercise}
%TCIMACRO{\TeXButton{3 colunas}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $2^{5}$
\item[\textbf{(b)}] $\left( -2\right) ^{5}$
\item[\textbf{(c)}] $-2^{5}$
\item[\textbf{(d)}] $\left( -2\right) ^{6}$
\item[\textbf{(e)}] $1^{18}$
\item[\textbf{(f)}] $0^{4}$
\item[\textbf{(g)}] $\left( -\frac{1}{2}\right) ^{6}$
\item[\textbf{(h)}] $\left( 0,01\right) ^{3}$
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
\begin{exercise}
Simplifique as express\~{o}es:
\end{exercise}
%TCIMACRO{\TeXButton{3 colunas}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $\frac{2^{5}}{4^{\frac{3}{2}}}\times 3^{4}\times 128^{%
\frac{2}{3}}$
\item[\textbf{(b)}] $2^{5}\cdot 2^{-3}$
\item[\textbf{(c)}] $\sqrt[5]{1}+\sqrt[6]{0}+\sqrt[4]{81}$
\item[\textbf{(d)}] $\sqrt[4]{81}+\sqrt[3]{-125}-\sqrt[3]{64}$
\item[\textbf{(e)}] $2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{6}%
}$
\item[\textbf{(f)}] $\frac{2^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{\frac{7}{2}}}{2^{\frac{1}{%
6}}}$
\item[\textbf{(g)}] $\left( 3^{2}\right) ^{\frac{5}{6}}$
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
\part*{Express\~{o}es Alg\'{e}bricas}
Existem basicamente dois tipos de problemas em que o uso de express\~{o}es
alg\'{e}bricas simplifica sua resolu\c{c}\~{a}o: aqueles em que se procura
um ou mais valores num\'{e}ricos satisfazendo certas rela\c{c}\~{o}es
estabelecidas (equa\c{c}\~{o}es ou inequa\c{c}\~{o}es) e aqueles em que se
busca descrever o comportamento de par\^{a}metros interdependentes. Nos dois
casos, os valores num\'{e}ricos ou os par\^{a}metros s\~{a}o representados
por letras do alfabeto sendo estas, no primeiro caso, denominadas inc\'{o}%
gnitas e, no segundo caso, vari\'{a}veis. O uso de expoentes simplifica a
escrita das express\~{o}es alg\'{e}bricas. Dentre as express\~{o}es alg\'{e}%
bricas ser\~{a}o estudadas as express\~{o}es polinomiais com "poucas" vari%
\'{a}veis.
\section{Polin\^{o}mios}
Os polin\^{o}mios s\~{a}o express\~{o}es alg\'{e}bricas obtidas com o uso da
adi\c{c}\~{a}o, subtra\c{c}\~{a}o e multiplica\c{c}\~{a}o (incluindo potencia%
\c{c}\~{a}o com expoentes inteiros). S\~{a}o exemplos de polin\^{o}mios:%
\begin{equation*}
3xyz^{3}-7x^{2}+1\text{, }s^{4}+13t-1\text{, }55\text{, }ax^{2}-bx+c\text{, }%
12xyz^{2}
\end{equation*}
\begin{remark}
Quando n\~{a}o h\'{a} de fato adi\c{c}\~{a}o ou subtra\c{c}\~{a}o, o polin%
\^{o}mio tem o nome de mon\^{o}mio. Os mon\^{o}mios formam os t\^{e}rmos dos
polin\^{o}mios. O fator num\'{e}rico do t\^{e}rmo ou do mon\^{o}mio \'{e}
denominado coeficiente e a soma dos expoentes das vari\'{a}veis \'{e} o grau
do mon\^{o}mio ou do t\^{e}rmo. O grau do polin\^{o}mio \'{e} o maior dentre
os graus de seus t\^{e}rmos.
Para simplificar a classifica\c{c}\~{a}o dos polin\^{o}mios, convenciona-se
considerar as primeiras letras do alfabeto como sendo constantes, reservando
as letras finais para desempenharem o papel de vari\'{a}veis. Assim, por
exemplo, para se referir a qualquer polin\^{o}mio de grau tr\^{e}s na vari%
\'{a}vel $x$, se diz "polin\^{o}mio da forma $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$". As opera%
\c{c}\~{o}es com polin\^{o}mios s\~{a}o definidas partindo das opera\c{c}%
\~{o}es com n\'{u}meros e, exceto a exist\^{e}ncia de inversos, as demais
propriedades continuam v\'{a}lidas para os polin\^{o}mios.
Tamb\'{e}m se consideram n\'{u}meros como parte da cole\c{c}\~{a}o dos polin%
\^{o}mios. O n\'{u}mero zero, $0$, \'{e} tamb\'{e}m denominado polin\^{o}mio
nulo enquanto que os demais n\'{u}meros s\~{a}o os polin\^{o}mios invers%
\'{\i}veis ou de grau zero.
Outra observa\c{c}\~{a}o: na multiplica\c{c}\~{a}o de polin\^{o}mios, o grau
do produto \'{e} a soma dos graus dos fatores correspondentes.como no exemplo%
\begin{equation*}
\left( 2x^{4}-3x^{2}+5\right) \left( 3x^{2}-5x+1\right)
=6x^{6}-10x^{5}-7x^{4}+15x^{3}+12x^{2}-25x+5
\end{equation*}%
Observe que os graus dos fatores s\~{a}o $4$ e $2$, respectivamente e o do
produto \'{e} $6$ que \'{e} a soma $4+2$.
\end{remark}
As propriedades das opera\c{c}\~{o}es com polin\^{o}mios t\^{e}m analogia
com as correspondentes dos inteiros, inclusive quanto ao Algor\'{\i}tmo da
Divis\~{a}o e \`{a} fatora\c{c}\~{a}o. Desse modo, uma parte dos polin\^{o}%
mios admite fatora\c{c}\~{a}o. Por fatora\c{c}\~{a}o, entende-se um produto
em que cada fator \'{e} um polin\^{o}mio de grau positivo.
\subsection{Produtos Not\'{a}veis}
Alguns problemas envolvendo polin\^{o}mios t\^{e}m sua resolu\c{c}\~{a}o
simplificada com o uso de produtos not\'{a}veis. A seguir apresentamos
alguns deles. Uma igualdade de express\~{o}es alg\'{e}bricas expressa uma
condi\c{c}\~{a}o ou exig\^{e}ncia a respeito das vari\'{a}veis envolvidas e
tem o nome de equa\c{c}\~{a}o. Nem toda substitui\c{c}\~{a}o de valores de
vari\'{a}veis por n\'{u}meros em uma equa\c{c}\~{a}o a torna verdadeira. No
extremo oposto dessa observa\c{c}\~{a}o, isto \'{e}, quando qualquer
substitui\c{c}\~{a}o torna verdadeira a equa\c{c}\~{a}o, ent\~{a}o esta \'{e}
denominada identidade. Uma identidade tamb\'{e}m significa que um membro da
igualdade pode ser obtido a partir do outro mediante sucessivas aplica\c{c}%
\~{o}es das propriedades das opera\c{c}\~{o}es das express\~{o}es alg\'{e}%
bricas. As equa\c{c}\~{o}es ser\~{a}o estudadas num t\'{o}pico \`{a} parte.
Quanto \`{a}s identidades, estudamos a seguir algumas que, pela sua import%
\^{a}ncia na fatora\c{c}\~{a}o de polin\^{o}mios t\^{e}m o nome de produtos
not\'{a}veis.
\begin{remark}
\label{Notaveis}As seguintes propriedades s\~{a}o v\'{a}lidas para as express%
\~{o}es alg\'{e}bricas envolvidas:
\end{remark}
%TCIMACRO{\TeXButton{2 colunas}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $\left( x+a\right) \left( x-a\right) =x^{2}-a^{2}$.
\item[\textbf{(b)}] $\left( x\pm a\right) ^{2}=x^{2}\pm 2ax+a^{2}$
\item[\textbf{(c)}] $\left( x\pm a\right) \left( x^{2}\mp ax+a^{2}\right)
=x^{3}\pm a^{3}$
\item[\textbf{(d)}] $\left( x\pm a\right) ^{3}=x^{3}\pm 3ax^{2}+3a^{2}x\pm
a^{3}$
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
Nos produtos not\'{a}veis, $x$ e $a$ podem ser substitu\'{\i}dos por express%
\~{o}es alg\'{e}bricas e funcionam como m\'{e}todo direto de obten\c{c}\~{a}%
o de certos produtos. Esse tipo de problema tem, na maioria das vezes,
apenas um papel de estabelecer familiaridade com o assunto, no intuito de
facilitar a compreens\~{a}o simples de m\'{e}todos de fatora\c{c}\~{a}o de
polin\^{o}mios.
\begin{examples}
Nos exemplos a seguir se utilizam os produtos not\'{a}veis para obten\c{c}%
\~{a}o direta dos resultados.
\end{examples}
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $\left( 3xy^{2}+2xy\right) \cdot \left(
3xy^{2}-2xy\right) =\left( 3xy^{2}\right) ^{2}-\left( 2xy\right)
^{2}=9x^{2}y^{4}-4x^{2}y^{2}$
\item[\textbf{(b)}] $\left( 2x^{2}y+3xy\right) ^{2}=\left( 2x^{2}y\right)
^{2}+2\cdot \left( 2x^{2}y\right) \left( 3xy\right) +\left( 3xy\right)
^{2}=4x^{4}y^{2}+12x^{3}y^{2}+9x^{2}y^{2}$
\item[\textbf{(c)}] $\left( 2x+y\right) \left[ \left( 2x\right) ^{2}-\left(
2x\right) y+y^{2}\right] =\left( 2x\right) ^{3}+y^{3}=8x^{3}+y^{3}$
\item[\textbf{(d)}] $\left( 5x+3y\right) ^{3}=\left( 5x\right) ^{3}+3\left(
3y\right) \left( 5x\right) ^{2}+3\left( 3y\right) ^{2}\left( 5x\right)
+\left( 3y\right) ^{3}$
\end{description}
\begin{exercise}
Desenvolva as express\~{o}es com o uso de produtos not\'{a}veis.
\end{exercise}
%TCIMACRO{\TeXButton{2 colunas}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $\left( 4x+7y\right) \left( 4x-7y\right) $
\item[\textbf{(b)}] $\left( 2xy^{2}+5\right) ^{2}$
\item[\textbf{(c)}] $\left( 3x^{2}y-5x\right) ^{2}$
\item[\textbf{(d)}] $\left( 3x^{2}y-5x\right) \left(
9x^{4}y^{2}+15x^{3}y+25x^{2}\right) $
\item[\textbf{(e)}] $\left( 3x^{2}y+5x\right) \left(
9x^{4}y^{2}-15x^{3}y+25x^{2}\right) $
\item[\textbf{(f)}] $\left( 2x+3y\right) ^{3}$
\item[\textbf{(g)}] $\left( x^{2}+4\right) \left( x^{2}-4\right) $
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
\subsection{Fatora\c{c}\~{a}o}
Fatorar um n\'{u}mero inteiro significa escrev\^{e}-lo como um produto de
inteiros. Se cada fator puder, por sua vez, ser fatorado, o processo
continua. Este procedimento n\~{a}o se repete indefinidamente: para no
momento em que os fatores s\~{a}o primos, isto \'{e}, n\~{a}o admitirem
fatora\c{c}\~{a}o n\~{a}o trivial (uma fatora\c{c}\~{a}o \'{e} dita trivial
se um dos fatores \'{e} uma unidade ($1$ ou $-1$) e o outro \'{e} o pr\'{o}%
prio n\'{u}mero ou seu oposto). Com os polin\^{o}mios h\'{a} muita semelhan%
\c{c}a com os problemas de fatora\c{c}\~{a}o. Em primeiro lugar, \'{e}
imediato que o processo de fatora\c{c}\~{a}o de um polin\^{o}mio n\~{a}o
poderia ser feito indefinidamente se se quizer fatorar com polin\^{o}mios de
grau menor que o pr\'{o}prio, por conta da aditividade do grau na multiplica%
\c{c}\~{a}o de polin\^{o}mios. Inicialmente se considera como fatora\c{c}%
\~{a}o um produto em que cada fator tem grau maior que zero. Consideram-se
os n\'{u}meros n\~{a}o nulos como unidades, o que significa que admitem
inversos. Por outro lado, o conjunto dos coeficientes tamb\'{e}m influi nas
possibilidades de fatora\c{c}\~{a}o. Assim, enquanto que, no conjunto dos
polin\^{o}mios com coeficientes reais o polin\^{o}mio $x^{2}-2$ se fatora
como%
\begin{equation*}
x^{2}-2=\left( x+\sqrt{2}\right) \left( x-\sqrt{2}\right) \text{,}
\end{equation*}%
o mesmo n\~{a}o acontece no conjunto dos polin\^{o}mios com coeficientes
racionais. Trabalharemos apenas com os polin\^{o}mios a coeficientes
inteiros e consideraremos apenas as fatora\c{c}\~{o}es cujos fatores sejam
polin\^{o}mios a coeficientes racionais.
\subsubsection{Regras simples de fatora\c{c}\~{a}o}
As regras a seguir s\~{a}o \'{u}teis como orienta\c{c}\~{a}o para obter a
fatora\c{c}\~{a}o de um polin\^{o}mio. A primeira delas se baseia na
propriedade distributiva enquanto as outras se baseiam nos produtos not\'{a}%
veis.
\begin{description}
\item[\textbf{1.}] Fator mon\^{o}mio comum. Se os coeficientes dos termos de
um polin\^{o}mio t\^{e}m um fator comum, digamos $d$, ent\~{a}o o mon\^{o}%
mio de coeficiente $d$ e cujas vari\'{a}veis s\~{a}o as vari\'{a}veis do
polin\^{o}mio, com os menores expoentes \'{e} denominado fator mon\^{o}mio
comum e podemos iniciar a fatora\c{c}\~{a}o, como no exemplo%
\begin{equation*}
36x^{3}y^{2}z-30x^{2}y+42x^{4}y=6x^{2}y\left( 6xyz-5+42x^{2}\right) \text{.}
\end{equation*}%
Note que o fator entre par\^{e}ntesis n\~{a}o est\'{a} na ordem padr\~{a}o.
\item[\textbf{2.}] Diferen\c{c}a de quadrados. Se um polin\^{o}mio se
escreve como diferen\c{c}a de quadrados de dois mon\^{o}mios ou, numa situa%
\c{c}\~{a}o mais complexa, como diferen\c{c}a de quadrados de dois outros
polin\^{o}mios, ent\~{a}o o polin\^{o}mio se escreve como o produto da soma
pela diferen\c{c}a destes, como no exemplo%
\begin{equation*}
25x^{4}y^{6}-4x^{2}=\left( 5x^{2}y^{3}+2x\right) \left(
5x^{2}y^{3}-2x\right) \text{.}
\end{equation*}%
Note que um mon\^{o}mio \'{e} um quadrado quando o seu coeficiente \'{e} um
quadrado e, simult\^{a}neamente, os expoentes das vari\'{a}veis s\~{a}o n%
\'{u}meros pares.
\item[\textbf{3.}] Trin\^{o}mio quadrado perfeito. Um trin\^{o}mio da forma%
\begin{equation*}
M^{2}\pm 2MN+N^{2}\text{,}
\end{equation*}%
onde $M$ e $N$ s\~{a}o mon\^{o}mios, ent\~{a}o ele se escreve na forma%
\begin{equation*}
M^{2}\pm 2MN+N^{2}=\left( M\pm N\right) ^{2}\text{,}
\end{equation*}%
como no exemplo a seguir%
\begin{equation*}
25x^{2}y^{6}+20xy^{3}+4=\left( 5xy^{3}+2\right) ^{2}\text{.}
\end{equation*}%
Observe que o quadrado do mon\^{o}mio $M=5xy^{3}$ \'{e} $25x^{2}y^{6}$, o
quadrado do mon\^{o}mio $N=2$ \'{e} $4$ e o dobro do produto $MN$ \'{e} $%
2MN=2\times \left( 5xy^{3}\right) \times 2=20xy^{3}$, o que mostra a
igualdade.
\item[\textbf{4.}] Soma ou diferen\c{c}a de cubos. Neste caso, usa-se a
Observa\c{c}\~{a}o \ref{Notaveis} item \textbf{(c) }da p\'{a}gina \pageref%
{Notaveis} para fatorar, como nos exemplos%
\begin{eqnarray*}
125x^{3}y^{9}-8 &=&\left( 5xy^{3}-2\right) \left(
25x^{2}y^{6}+10xy^{3}+4\right) \\
125x^{3}y^{9}+8 &=&\left( 5xy^{3}+2\right) \left(
25x^{2}y^{6}-10xy^{3}+4\right)
\end{eqnarray*}
\end{description}
\begin{exercise}
Fatore os polin\^{o}mios
\end{exercise}
%TCIMACRO{\TeXButton{3 colunas}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion
\begin{description}
\item[\textbf{(a)}] $4x^{2}+4xy+y^{2}$
\item[\textbf{(b)}] $4x^{2}-4xy+y^{2}$
\item[\textbf{(c)}] $32x^{4}y^{2}-18x^{2}$
\item[\textbf{(d)}] $9x^{2}+24x^{3}y+16x^{4}y^{2}$
\item[\textbf{(e)}] $27x^{3}+8x^{6}y^{3}$
\item[\textbf{(f)}] $8x^{3}y^{6}-27y^{3}$
\item[\textbf{(g)}] $x^{2}-4y^{2}$
\item[\textbf{(h)}] $8x^{3}+y^{3}+6xy^{2}+12x^{2}y$
\item[\textbf{(i)}] $8x^{3}-y^{3}+6xy^{2}-12x^{2}y$
\end{description}
%TCIMACRO{\TeXButton{1 coluna}{\end{multicols}}}%
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\end{multicols}%
%EndExpansion
\end{document}